Probability Guide
Heart of Crown 概率论完整解说。5张手牌的抽取概率、移除农村的数学效果、牌组循环速度、期望金币计算以及拥立到达概率。
为什么要学习概率论
Heart of Crown 看起来像是运气游戏，但它本质上是一个控制概率的游戏。
"今天一直抽到农村"，"占星术士一张都没来"——这样的感受每个玩家都有过。但高水平玩家会用数学来控制这种"运气"。
牌组构建游戏的本质是将概率分布操作成对自己有利的形态。移除农村是一种"降低抽到弱牌概率"的数学操作，积累摸牌卡是一种"增加每回合样本量"的统计操作。
本文将使用公式和具体数值彻底解说 Heart of Crown 的概率方面。比起背公式，我们更注重"直觉理解"。
牌组概率基础
超几何分布
卡牌游戏中"抽到特定牌的概率"用超几何分布来计算。
公式
P = 1 - C(N-k, h) / C(N, h)
- N = 牌组总张数
- k = 目标牌的张数
- h = 摸牌张数（通常为5）
- C(a, b) = 组合数
具体计算示例（10张牌组，5张手牌）
目标牌1张： P = 1 - C(9,5)/C(10,5) = 50%
目标牌2张： P = 1 - C(8,5)/C(10,5) = 77.8%
目标牌3张： P = 1 - C(7,5)/C(10,5) = 91.7%
3张副本就能保证超过90%的回合都能抽到。这就是"买同一张牌3张"战术的数学依据。
直觉近似法
"5张摸牌的抽取概率 ≈ (副本数 ÷ 牌组张数) × 5"
示例：12张牌组，都市3张 → (3÷12)×5 = 1.25 → 约80%概率至少抽到1张
各牌组规模的摸牌概率对比表
| 牌组张数 | 1张副本 | 2张副本 | 3张副本 | 4张副本 |
|---|---|---|---|---|
| 6张 | 83.3% | 100% | 100% | 100% |
| 8张 | 62.5% | 89.3% | 98.2% | 100% |
| 10张 | 50.0% | 77.8% | 91.7% | 97.6% |
| 12张 | 41.7% | 65.9% | 82.6% | 92.4% |
| 15张 | 33.3% | 55.6% | 72.5% | 84.6% |
| 20张 | 25.0% | 43.4% | 58.4% | 70.8% |
核心结论：牌组越大越不稳定。 牌组张数翻倍，抽到特定牌的概率几乎减半。保持牌组精简是概率稳定性的根本。
移除农村带来的概率改善
逐步移除的数学效果
初始牌组：农村7张（各1金币）＋宫廷侍女3张（0金币）= 共10张
| 农村剩余张数 | 牌组张数 | 农村密度 | 5张手牌中期望农村张数 |
|---|---|---|---|
| 7张（初始） | 10张 | 70% | 3.50 |
| 5张 | 8张 | 62.5% | 3.13 |
| 3张 | 6张 | 50.0% | 2.50 |
| 0张 | 3张 | 0% | 0 |
移除农村的三个数学理由
理由1：有效牌的摸取概率上升
10张牌组有3张有效牌：期望摸取 = 3/10×5 = 1.5张/回合 移除2张农村后（8张牌组）：3/8×5 = 1.875张/回合 — 提升25%
理由2：牌组循环速度提升
牌组变薄后，完成一次完整循环所需的回合数减少，新购买的牌更快投入使用。
理由3：避免-2继承点惩罚
农村带有-2继承点。游戏后期持有大量农村会严重影响最终得分计算。
农村移除优先度表
| 情况 | 移除成本 | 经济改善效果 | 优先度 |
|---|---|---|---|
| 回合1-3（7张农村） | 捐献：2费 | 非常高 | S |
| 回合4-6（4-6张农村） | 捐献：2费 | 高 | A |
| 回合7+（1-3张农村） | 捐献：2费 | 中等 | B |
牌组循环速度计算
基本循环速度
循环速度（回合/周期）= 牌组张数 ÷ 5
| 牌组张数 | 完成一周期所需回合数 | 10回合内循环次数 |
|---|---|---|
| 6张 | 1.2回合 | 8.33次 |
| 8张 | 1.6回合 | 6.25次 |
| 10张 | 2.0回合 | 5.0次 |
| 12张 | 2.4回合 | 4.17次 |
| 15张 | 3.0回合 | 3.33次 |
| 20张 | 4.0回合 | 2.5次 |
循环速度提升带来的好处
1. 新购买的牌更快可用
- 20张牌组：新买的牌平均等待2回合才能使用
- 10张牌组：平均等待1回合
- 6张牌组：几乎下回合就能使用
2. 关键组合更容易凑齐 循环越快，每局游戏中凑齐关键牌组合的尝试次数越多。
3. 更早达成拥立条件 牌组循环越快，越早迎来满足拥立条件的手牌。
摸牌卡对循环速度的影响
| 摸牌卡 | 额外摸牌数 | 在10张牌组中的改善 |
|---|---|---|
| 炼金术士（5费，+2摸）×1 | +2/次 | 周期缩短约9% |
| 炼金术士×2 | +4（最大） | 周期缩短约18% |
| 快马（2费，+1摸）×1 | +1/次 | 周期缩短约4% |
| 补给部队（4费，+2-3摸）×1 | +2-3/次 | 周期缩短约12% |
期望金币量计算
初始牌组期望金币
初始牌组：7张农村（总计7金币）+3张宫廷侍女（0金币）
5张手牌的期望金币 = (7÷10)×5 = 3.5金币
初始牌组每回合平均只能产生3.5金币，需要4金币的都市在统计上约3回合才能凑够1次。
随购买都市的期望金币变化
| 购入都市张数 | 牌组张数 | 总金币 | 期望金币/回合 |
|---|---|---|---|
| 0张（初始） | 10张 | 7 | 3.50 |
| +1张 | 11张 | 9 | 4.09 |
| +2张 | 12张 | 11 | 4.58 |
| +3张 | 13张 | 13 | 5.00 |
| +4张 | 14张 | 15 | 5.36 |
都市购买+农村移除的复合效果
| 状态 | 牌组张数 | 总金币 | 期望金币/回合 |
|---|---|---|---|
| 初始 | 10张 | 7 | 3.50 |
| +1都市，无移除 | 11张 | 9 | 4.09 |
| +1都市，-1农村 | 10张 | 9 | 4.50 |
| +2都市，-2农村 | 10张 | 11 | 5.50 |
| +3都市，-5农村 | 8张 | 13 | 8.13 |
| +1大都市，+3都市，-7农村 | 7张 | 15 | 10.71 |
都市购买和农村移除的组合效果远优于单纯堆积都市。
12金币稳定达成所需牌组构成的逆推
拥立需要12金币。达成条件：总金币 ÷ 牌组张数 ≥ 2.4
实现这一密度需要：0农村 + 多张大都市 + 数张都市的高效牌组。
拥立到达概率计算
累积概率公式
若每回合满足拥立条件的概率为 p，则在X回合内至少成功1次的概率为：
1 - (1-p)^X
p = 25%/回合时：
| 回合数 | 累积拥立成功概率 |
|---|---|
| 4 | 68.4% |
| 6 | 82.2% |
| 8 | 90.0% |
| 12 | 96.8% |
p = 20%/回合时：
| 回合数 | 累积拥立成功概率 |
|---|---|
| 6 | 73.8% |
| 8 | 83.2% |
| 12 | 93.1% |
关键结论： 即使每回合拥立概率不高，反复尝试也能使累积概率大幅提升。这就是"尽快完成牌组，每回合都尝试拥立"策略有效的数学依据。
占星术士对拥立概率的影响
占星术士（3费）可以看到并重新排列牌库顶部。这允许将大都市确定性地置于下回合手牌中，将每回合拥立概率提升约30-50%。
继承点收集的数学最优化
费用效率比较
| 卡牌 | 费用 | 继承点 | 效率（点/费） |
|---|---|---|---|
| 宫廷侍女 | 3 | 2 | 0.667 |
| 议员 | 5 | 3 | 0.600 |
| 边疆伯爵 | 6 | 3（+特殊） | 0.500-0.667 |
| 公爵 | 8 | 6 | 0.750 |
| 皇帝之冠 | 13 | 14 | 1.077 |
皇帝之冠 vs 公爵决策分析
| 选项 | 总费用 | 总继承点 | 效率 | 可行性 |
|---|---|---|---|---|
| 皇帝之冠×1 | 13 | 14点 | 1.077 | 需要13金币回合 |
| 公爵×2 | 16 | 12点 | 0.750 | 中等难度 |
| 公爵×1＋议员×2 | 18 | 12点 | 0.667 | 较容易 |
纯效率上皇帝之冠更优，但考虑到13金币回合的实现难度，大多数情况下购买多张公爵更为实际。
剩余回合数别最优购买目标
| 剩余回合数 | 推荐优先牌 | 理由 |
|---|---|---|
| 10回合以上 | 公爵 > 皇帝之冠 | 时间充裕，可挑战高费 |
| 6-9回合 | 公爵 > 议员 | 均衡积累得分 |
| 3-5回合 | 议员 > 边疆伯爵 | 优先负担得起的费用段 |
| 1-2回合 | 能买什么买什么 | 用现有金币拿最多的分 |
实战计算示例
示例1：逆转计算
状况： 你有15继承点，对手22点，预计还剩3回合。
自己的牌组（9张，期望7金币/回合）可以稳定购买公爵（8费，6点）。
- 回合1：买公爵 → +6点 → 合计21点
- 回合2：买公爵 → +6点 → 合计27点
- 回合3：买议员 → +3点 → 合计30点
若对手每回合也积累约4点：22+4+4+4 = 34点。
结论：还需要额外4点以上。 需要用占星术士稳定公爵回合，或利用边疆伯爵的特殊效果来补足差距。
示例2：捐献 vs 都市购买判断
状况： 回合3，手牌3金币（3张农村）。供应区有捐献（2费）和都市（4费）。
3金币无法购买都市，购买捐献移除1张农村是正确选择——用极低代价改善长期效率。
参考标准：3金币以下→优先捐献；4-5金币→考虑都市；6金币以上→瞄准大都市。
总结：用数字思考运营
需要记住的关键数值
| 情况 | 概率/数值 |
|---|---|
| 10张牌组，持有1张目标牌的摸取概率 | 50% |
| 10张牌组，持有3张目标牌的摸取概率 | 91.7% |
| 初始牌组期望金币/回合 | 3.5金币 |
| 稳定达成12金币所需的金币密度 | 2.4以上 |
| 10张牌组完成一次循环的回合数 | 2回合 |
实战思考步骤
- 掌握自己牌组的金币密度 — 时刻意识总金币÷牌组张数
- 估算目标牌的摸取概率 — 副本数÷牌组张数×5
- 判断农村移除优先度 — 前期优先移除，中期与经济牌权衡
- 预测拥立时机 — 每回合拥立概率×剩余回合数
- 计算继承点期望值 — 剩余回合数×每回合期望继承点
数学思维在"不确定该买什么"时提供判断依据。直觉与数字并用，必能稳步提升 Heart of Crown 的胜率。