Dominion Mathematik & Wahrscheinlichkeitsguide
Gelddichte, Eröffnungswahrscheinlichkeiten, Ausdünnungstheorie — die Mathematik hinter Dominion
Warum Mathematik lernen?
Dominion wirkt auf den ersten Blick wie ein intuitives Spiel, doch hinter jeder Entscheidung steckt solide Mathematik. Wer „Bauchgefühl"-Käufe durch kalkulierte Entscheidungen ersetzt, verbessert seine Gewinnquote spürbar.
Während viele Mittelspieler auf ihre Intuition vertrauen, haben Spieler mit mathematischem Denkansatz drei konkrete Vorteile:
- Optimale Eröffnungen vorausberechnen — die Wahl zwischen Kapelle und Silber mit Zahlen treffen, nicht mit Raten
- Käufe präzise timen — Silber versus Gold nach erwartetem Wert vergleichen, nicht nach Gewohnheit
- Gegnerische Verläufe vorhersagen — Deckgrößen zählen, um abzuschätzen, welche starken Karten der Gegner im nächsten Zug zieht
Weder Differenzialrechnung noch Matrizenalgebra sind erforderlich. Einfache Division und ein grundlegendes Wahrscheinlichkeitsgefühl genügen. Mit Übung laufen diese Berechnungen während des Spiels automatisch im Kopf ab.
Gelddichte
Die Formel
Gelddichte = Gesamte Münzproduktion im Deck ÷ Anzahl der Karten im Deck
„Gesamte Münzproduktion" ist die Summe der Münzen, die erzeugt würden, wenn jede Karte im Deck einmal gespielt würde. Zählen Sie Kupfer als 1, Silber als 2, Gold als 3. Siegpunktkarten und die meisten Aktionskarten zählen als 0.
Gelddichte des Startdecks
| Karte | Anzahl | Münzen pro Karte | Teilergebnis |
|---|---|---|---|
| Kupfer | 7 | 1 | 7 |
| Anwesen | 3 | 0 | 0 |
| Gesamt | 10 | — | 7 |
Startdichte = 7 ÷ 10 = 0,70
Mit einer 5-Karten-Hand sind im Durchschnitt 0,70 × 5 = 3,5 Münzen zu erwarten. Deshalb sind Hände mit 5 oder 6 Münzen in den ersten Zügen selten.
Zieldichte für Provinzkäufe
Provinz zu kaufen erfordert 8 Münzen aus einer 5-Karten-Hand.
- 8 Münzen ÷ 5 Karten = Dichte ≥ 1,6 ist der Schwellenwert, ab dem Provinz das erwartete Ergebnis wird
- Kolonie kaufen (11 Münzen) erfordert Dichte ≥ 2,2
Wie sich die Dichte beim Verstärken des Decks verändert
Silber und Gold zum Startdeck aus 7 Kupfer + 3 Anwesen hinzufügen:
| Hinzugefügte Karten | Deckgröße | Gesamtmünzen | Dichte | Erwartete Münzen (5-Karten-Hand) |
|---|---|---|---|---|
| Keine (Start) | 10 | 7 | 0,70 | 3,5 |
| +1 Silber | 11 | 9 | 0,82 | 4,1 |
| +2 Silber | 12 | 11 | 0,92 | 4,6 |
| +3 Silber | 13 | 13 | 1,00 | 5,0 |
| +3 Silber, +1 Gold | 14 | 16 | 1,14 | 5,7 |
| +3 Silber, +2 Gold | 15 | 19 | 1,27 | 6,3 |
| +3 Silber, +3 Gold | 16 | 22 | 1,38 | 6,9 |
| +3 Silber, +4 Gold | 17 | 25 | 1,47 | 7,4 |
| +4 Silber, +4 Gold | 18 | 27 | 1,50 | 7,5 |
Dichte 1,6 zu erreichen erfordert typischerweise 4–5 Gold. Das ist der mathematische Grund, warum Big Money „mit Silber unterstützen, Gold stapeln" bevorzugt.
Die Siegpunktkarten-Falle
Jedes Herzogtum (Kosten 5, 0 Münzen), das dem Deck hinzugefügt wird, verdünnt die Dichte:
| Zustand | Deckgröße | Gesamtmünzen | Dichte |
|---|---|---|---|
| 4 Gold + 3 Silber | 17 | 22 | 1,29 |
| +1 Herzogtum | 18 | 22 | 1,22 |
| +2 Herzogtümer | 19 | 22 | 1,16 |
| +3 Herzogtümer | 20 | 22 | 1,10 |
Drei Herzogtümer senken die Dichte von 1,29 auf 1,10 und reduzieren den erwarteten Handwert von 6,45 auf 5,50 Münzen. Das ist die Grundursache des „Selbstzerstörungsmusters", bei dem Siegpunktkartenkäufe in der Endphase Ihr Motiv genau dann schwächen, wenn Sie es am meisten brauchen.
Eröffnungswahrscheinlichkeiten
Die 5/2- vs. 4/3-Aufteilung
Ihre ersten beiden Kaufzüge werden durch die 5-Karten-Hände bestimmt, die Sie aus einem 10-Karten-Deck mit 7 Kupfer + 3 Anwesen ziehen.
Mit der hypergeometrischen Verteilung: Wahrscheinlichkeit, genau k Kupfer in 5 Karten aus diesem Deck zu ziehen:
| Hand in Zug 1 | Berechnung | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|
| 5 Kupfer (5 Münzen) | C(7,5)×C(3,0)÷C(10,5) = 21÷252 | 8,3% |
| 4 Kupfer + 1 Anwesen (4 Münzen) | C(7,4)×C(3,1)÷C(10,5) = 105÷252 | 41,7% |
| 3 Kupfer + 2 Anwesen (3 Münzen) | C(7,3)×C(3,2)÷C(10,5) = 105÷252 | 41,7% |
| 2 Kupfer + 3 Anwesen (2 Münzen) | C(7,2)×C(3,3)÷C(10,5) = 21÷252 | 8,3% |
Kombinierte Eröffnungsmuster:
| Muster | Zug 1 | Zug 2 | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|
| 5/2-Aufteilung | 5 Münzen | 2 Münzen | ~8,3% |
| 4/3-Aufteilung | 4 Münzen | 3 Münzen | ~41,7% |
| 3/4-Aufteilung | 3 Münzen | 4 Münzen | ~41,7% |
| 2/5-Aufteilung | 2 Münzen | 5 Münzen | ~8,3% |
Die extremen Aufteilungen (5/2 oder 2/5) treten nur in 16,7% der Fälle auf. Die überwiegende Mehrheit der Spiele — 83,4% — beginnt mit einer 4/3- oder 3/4-Aufteilung.
Wann kommen Ihre Eröffnungskäufe an?
Nach den Zügen 1 und 2 enthält Ihr Deck 12 Karten (ursprüngliche 10 + 2 Käufe). Die 10 bereits gezogenen Karten liegen im Ablagestapel; Ihre 2 neuen Käufe befinden sich irgendwo im verbleibenden 2-Karten-Deck.
Wenn Sie in Zug 3 5 Karten ziehen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Ihrer Eröffnungskäufe erscheint:
- Beide abwesend: C(10,5) ÷ C(12,5) = 252 ÷ 792 ≈ 31,8%
- Mindestens 1 anwesend: 1 − 31,8% ≈ 68,2%
- Beide anwesend: C(10,3) ÷ C(12,5) = 120 ÷ 792 ≈ 15,2%
Bis zu den Zügen 3 und 4 zusammen werden beide Eröffnungskäufe praktisch sicher erscheinen. Das bedeutet: Die Qualität Ihrer Eröffnungskäufe bestimmt Ihre Entwicklung im ersten Viertel des Spiels. Eine in Zug 1 gekaufte Kapelle hat in Zug 3 eine 68,2%ige Chance zu erscheinen und ermöglicht sofort das Ausdünnen.
Mathematischer Vergleich von Eröffnungen
| Eröffnung | Schlüsselkarte erscheint in Zug 3 | Anmerkungen |
|---|---|---|
| Kapelle + irgendwas | 68,2% | Schneller Ausdünn-Start |
| Silber + Silber | Beide: 15,2% / Eines: 68,2% | Stabiler Dichtezuwachs |
| Silber + Aktion | Jeweils 68,2% | Strategieabhängig |
Die Mathematik des Ausdünnens
Was ist eine Stoppkarte?
In der Deckbautheorie ist eine Stoppkarte jede Karte, die beim Spielen keine zusätzlichen Karten zieht. Stoppkarten unterbrechen die Spielkette in Motordecks.
Beispiele für Stoppkarten:
- Kupfer, Silber, Gold — erzeugen Münzen, ziehen aber nicht
- Anwesen, Herzogtum, Provinz, Fluch — verleihen Punkte, ziehen aber nicht
- Die meisten Aktionen ohne +Karte-Text — erzeugen Effekte, ziehen aber nicht
Ein Deck mit vielen Stoppkarten kann nicht in einem einzigen Zug vollständig gezogen werden, was die Kraft von Motoren einschränkt, die auf vielen Spielketten beruhen.
Was Ausdünnen tatsächlich verändert
Ausdünnen verbessert direkt drei Kennzahlen gleichzeitig:
- Deckgröße ↓ — Sie ziehen jeden Zug einen größeren Anteil Ihres Decks
- Gelddichte ↑ — Das Entfernen von Kupfer und Anwesen mit niedrigem Wert erhöht den durchschnittlichen Handwert
- Zyklus-Geschwindigkeit ↑ — Ihre besten Karten kehren häufiger in die Hand zurück
Kapelle-Ausdünnen: konkrete Zahlen
Die Kapelle kann bis zu 4 Karten pro Zug entsorgen. Betrachten wir ein Szenario, in dem alle 3 Anwesen und 4 Kupfer über mehrere Züge entsorgt werden:
| Zustand | Deckgröße | Gesamtmünzen | Dichte | Erwartete Münzen (5 Karten) |
|---|---|---|---|---|
| Startdeck | 10 | 7 | 0,70 | 3,50 |
| Nach Hinzufügen der Kapelle | 11 | 7 | 0,64 | 3,18 |
| Nach Entsorgen von 3 Anwesen | 8 | 7 | 0,88 | 4,38 |
| Nach Entsorgen von 4 Kupfer | 4 | 3 | 0,75 | 3,75 |
Das 4-Karten-Deck wirkt isoliert schwach, aber das Hinzufügen hochwertiger Karten erhöht die Dichte schnell:
| Silber hinzugefügt | Deckgröße | Gesamtmünzen | Dichte | Erwartete Münzen (5 Karten) |
|---|---|---|---|---|
| +1 Silber | 5 | 5 | 1,00 | 5,00 |
| +2 Silber | 6 | 7 | 1,17 | 5,83 |
| +2 Silber, +1 Gold | 7 | 10 | 1,43 | 7,14 |
Ein ausgedünntes Deck mit nur 2 Silber und 1 Gold produziert bereits 7,1 erwartete Münzen pro Zug — genug, um fast jedes Mal Provinz zu kaufen, wenn es darauf ankommt. Das ist die mathematische Stärke der Kapelle.
Kapelle + Silber vs. Kapelle + Cantrip
Laut Simulationsforschung von dominionstrategy.com:
- Eröffnung Kapelle + Silber: durchschnittlich 3,03 Karten entsorgt
- Eröffnung Kapelle + Cantrip (Dorf, Markt usw.): durchschnittlich 3,64 Karten entsorgt
Cantrips geben der Kapelle mehr Gelegenheiten auszulösen, indem sie sie in mehr Hände ziehen. Der Unterschied von 0,61 Karten bedeutet etwa 0,61 mehr entferntes Kupfer — eine bedeutende Verbesserung der langfristigen Dichte.
Deck-Zyklus-Geschwindigkeit
Dünnere Decks liefern gute Karten häufiger
Vergleichen Sie ein 20-Karten- und ein 10-Karten-Deck, die jeweils genau 1 Gold enthalten:
| Deckgröße | Gold-Anteil | Wahrscheinlichkeit, dass Gold in 5-Karten-Hand erscheint | Durchschnittliche Züge zwischen Gold-Erscheinungen |
|---|---|---|---|
| 20 Karten | 1/20 = 5% | 1−(19/20)^5 ≈ 22,6% | ~4,4 Züge |
| 10 Karten | 1/10 = 10% | 1−(9/10)^5 ≈ 41,0% | ~2,4 Züge |
| 5 Karten | 1/5 = 20% | 1−(4/5)^5 ≈ 67,2% | ~1,5 Züge |
Ein 10-Karten-Deck sieht sein Gold etwa 1,8× häufiger als ein 20-Karten-Deck. Ausdünnen profitiert Sie nicht nur durch höhere Dichte, sondern auch durch erhöhte Häufigkeit Ihrer Starkarten.
Der doppelte Fluchschaden
Wenn die gegnerische Hexe Flüche zu Ihrem Deck hinzufügt, gilt die umgekehrte Mathematik:
- 10-Karten-Deck + 1 Fluch → 11-Karten-Deck: Gold-Erscheinungsrate sinkt von 10% auf 9,1%
- 10-Karten-Deck + 3 Flüche → 13-Karten-Deck: Gold-Erscheinungsrate sinkt von 10% auf 7,7%
Flüche senken gleichzeitig die Gelddichte und verlangsamen den Deck-Zyklus, wodurch Ihre besten Karten seltener erscheinen. Dieser doppelte Schaden erklärt, warum aggressive Fluch-Angriffe (Hexe) zu den stärksten Strategien im Spiel zählen.
Praktische Anwendung
Soll ich die Aktion oder ein Silber kaufen?
Wenn Sie unsicher sind, ob eine Aktionskarte es wert ist, nutzen Sie die Dichte als Leitfaden.
Schritt 1: Aktuelle Deck-Dichte abschätzen
Zählen Sie Kupfer, Silber und Gold in Hand und Ablagestapel beim Aufräumen. Schätzen Sie Ihre gesamte Münzproduktion und dividieren Sie durch die Deckgröße.
Schritt 2: Dichteänderung nach jedem Kauf projizieren
- Silber kaufen: +1 Karte, +2 Münzen → Dichte steigt
- Aktionskarte (Kosten 5) kaufen: +1 Karte, +0 Münzen → Dichte sinkt
Beispiel mit einem 16-Karten-Deck bei Dichte 1,00 (Gesamtmünzen = 16):
| Kauf | Deckgröße | Gesamtmünzen | Dichte | Veränderung |
|---|---|---|---|---|
| Silber | 17 | 18 | 1,06 | +0,06 |
| Aktion (keine Münzen) | 17 | 16 | 0,94 | −0,06 |
Eine Aktionskarte schlägt Silber nur, wenn sie effektiv 2+ Münzen an äquivalentem Wert produziert. Labor (+2 Karten, +1 Aktion) zieht mehr Karten und ermöglicht das Spielen von mehr Schätzen — der effektive Münzbeitrag übersteigt daher den Nennwert.
Deck-Management in Mittel- und Endspiel
Deckgröße während des gesamten Spiels verfolgen
Schauen Sie zu Beginn jedes Zuges kurz auf die Größe des Ablagestapels. Ihre aktive Deckgröße = Gesamtdeckgröße − Ablagestapelgröße − Handgröße.
Dichte nach jedem Provinzkauf neu berechnen
Provinz kostet 8 und produziert 0 Münzen. Jede gekaufte Kopie verringert Ihre Dichte:
| Deck-Zustand | Dichte vorher | Dichte nach 1 Provinz | Veränderung |
|---|---|---|---|
| 20 Karten, 28 Münzen | 1,40 | 1,33 (21 Karten) | −0,07 |
| 20 Karten, 32 Münzen | 1,60 | 1,52 (21 Karten) | −0,08 |
Wenn Sie Provinzkäufe beginnen, sobald Ihre Dichte 1,6 übersteigt, halten Sie die Dichte für mehrere weitere Käufe über 1,4 — genug, um weiterhin 8 Münzen zu erreichen.
3-Stapel-Spielende und Dichte
Ein 3-Stapel-Spielende auszulösen (aggressiv billige Karten kaufen, um Stapel zu leeren) ist am effektivsten, wenn Ihre Dichte hoch genug ist, um mehrere Karten in einem Zug zu kaufen. Ein Deck mit Dichte 1,8+ kann manchmal mit +Kaufeffekten 2–3 Karten pro Zug kaufen und das Spiel schnell beenden.
Zusammenfassung
Die Mathematik ist nicht so schwer, wie sie aussieht. Konzentrieren Sie sich beim Spielen auf nur drei Dinge:
- Deckgröße und gesamte Münzproduktion grob verfolgen — Dichte spontan schätzen
- Dichte ≥ 1,6 anstreben, bevor Sie sich auf Provinzkäufe festlegen — darunter weiter Schätze kaufen
- Bestätigen, dass das Ausdünnen das Deck dünner gemacht hat — kleinere Decks zyklieren schneller und liefern Starkarten früher
Es braucht anfangs Zeit, aber nach Dutzenden von Spielen werden Sie instinktiv spüren, dass „dieses Deck zwei weitere Silber braucht, bevor Provinz konsistent ist." Die mathematische Intuition erfahrener Spieler ist keine Magie — es ist das angesammelte Ergebnis genau dieser Berechnungen, die durch Wiederholung verinnerlicht wurden.