Mathématiques et probabilités à Dominion
Densité monétaire, probabilités d'ouverture, théorie de l'amincissement — les mathématiques de Dominion
Pourquoi apprendre les mathématiques ?
Dominion peut sembler un jeu intuitif, mais une solide logique mathématique sous-tend chaque décision. Remplacer les achats « au feeling » par des choix calculés améliore significativement votre taux de victoire.
Si de nombreux joueurs intermédiaires se fient à leur intuition, ceux qui adoptent une approche mathématique bénéficient de trois avantages concrets :
- Calculer les ouvertures optimales à l'avance — choisir entre la Chapelle et l'Argent grâce aux chiffres, non à l'instinct
- Chronométrer les achats avec précision — comparer l'Argent et l'Or par valeur attendue, non par habitude
- Prédire la trajectoire adverse — compter les tailles de decks pour estimer quelles cartes puissantes l'adversaire pioché au prochain tour
Ni calcul différentiel ni algèbre matricielle ne sont requis. Une simple division et un sens élémentaire de la probabilité suffisent. Avec de la pratique, ces calculs s'effectuent mentalement pendant la partie.
La densité monétaire
La formule
Densité monétaire = Production totale de pièces du deck ÷ Nombre de cartes dans le deck
La « production totale de pièces » est la somme des pièces générées si chaque carte du deck était jouée une fois. Comptez le Cuivre pour 1, l'Argent pour 2, l'Or pour 3. Les cartes Victoire et la plupart des cartes Action comptent pour 0.
Densité du deck de départ
| Carte | Quantité | Pièces par carte | Sous-total |
|---|---|---|---|
| Cuivre | 7 | 1 | 7 |
| Domaine | 3 | 0 | 0 |
| Total | 10 | — | 7 |
Densité de départ = 7 ÷ 10 = 0,70
Avec une main de 5 cartes, on peut espérer 0,70 × 5 = 3,5 pièces en moyenne. Voilà pourquoi les mains à 5 ou 6 pièces sont rares dans les premiers tours.
Densité cible pour acheter une Province
Acheter une Province nécessite 8 pièces avec une main de 5 cartes.
- 8 pièces ÷ 5 cartes = densité ≥ 1,6 est le seuil où la Province devient le résultat attendu
- Acheter une Colonie (11 pièces) requiert densité ≥ 2,2
Comment la densité évolue en renforçant son deck
Ajout d'Argent et d'Or au deck de départ composé de 7 Cuivres + 3 Domaines :
| Cartes ajoutées | Taille du deck | Total pièces | Densité | Pièces attendues (main de 5) |
|---|---|---|---|---|
| Aucune (départ) | 10 | 7 | 0,70 | 3,5 |
| +1 Argent | 11 | 9 | 0,82 | 4,1 |
| +2 Argents | 12 | 11 | 0,92 | 4,6 |
| +3 Argents | 13 | 13 | 1,00 | 5,0 |
| +3 Argents, +1 Or | 14 | 16 | 1,14 | 5,7 |
| +3 Argents, +2 Ors | 15 | 19 | 1,27 | 6,3 |
| +3 Argents, +3 Ors | 16 | 22 | 1,38 | 6,9 |
| +3 Argents, +4 Ors | 17 | 25 | 1,47 | 7,4 |
| +4 Argents, +4 Ors | 18 | 27 | 1,50 | 7,5 |
Atteindre une densité de 1,6 nécessite généralement 4 à 5 Ors. C'est la raison mathématique pour laquelle le Big Money privilégie la stratégie « soutenir avec l'Argent, empiler l'Or ».
Le piège des cartes Victoire
Chaque Duché (coût 5, 0 pièce) ajouté à votre deck dilue votre densité :
| État | Taille du deck | Total pièces | Densité |
|---|---|---|---|
| 4 Ors + 3 Argents | 17 | 22 | 1,29 |
| +1 Duché | 18 | 22 | 1,22 |
| +2 Duchés | 19 | 22 | 1,16 |
| +3 Duchés | 20 | 22 | 1,10 |
Trois Duchés font chuter la densité de 1,29 à 1,10, réduisant la valeur attendue de la main de 6,45 à 5,50 pièces. C'est la cause profonde du « schéma d'auto-destruction » : les achats de cartes Victoire en fin de partie affaiblissent votre moteur précisément quand vous en avez le plus besoin.
Probabilités d'ouverture
La répartition 5/2 contre 4/3
Vos deux premiers tours d'achat sont déterminés par les mains de 5 cartes piochées dans un deck de 10 cartes composé de 7 Cuivres + 3 Domaines.
En utilisant la distribution hypergéométrique, la probabilité de piocher exactement k Cuivres dans 5 cartes :
| Main au Tour 1 | Calcul | Probabilité |
|---|---|---|
| 5 Cuivres (5 pièces) | C(7,5)×C(3,0)÷C(10,5) = 21÷252 | 8,3% |
| 4 Cuivres + 1 Domaine (4 pièces) | C(7,4)×C(3,1)÷C(10,5) = 105÷252 | 41,7% |
| 3 Cuivres + 2 Domaines (3 pièces) | C(7,3)×C(3,2)÷C(10,5) = 105÷252 | 41,7% |
| 2 Cuivres + 3 Domaines (2 pièces) | C(7,2)×C(3,3)÷C(10,5) = 21÷252 | 8,3% |
Schémas d'ouverture combinés :
| Schéma | Tour 1 | Tour 2 | Probabilité |
|---|---|---|---|
| Répartition 5/2 | 5 pièces | 2 pièces | ~8,3% |
| Répartition 4/3 | 4 pièces | 3 pièces | ~41,7% |
| Répartition 3/4 | 3 pièces | 4 pièces | ~41,7% |
| Répartition 2/5 | 2 pièces | 5 pièces | ~8,3% |
Les répartitions extrêmes (5/2 ou 2/5) ne surviennent que dans 16,7% des cas. L'immense majorité des parties — 83,4% — commence avec une répartition 4/3 ou 3/4.
Quand arrivent vos achats d'ouverture ?
Après les tours 1 et 2, votre deck contient 12 cartes (les 10 d'origine + 2 achats). Les 10 cartes déjà piochées se trouvent dans la défausse ; vos 2 nouveaux achats se situent quelque part dans le deck restant de 2 cartes.
Lorsque vous piochez 5 cartes au tour 3, la probabilité qu'au moins 1 de vos achats d'ouverture apparaisse :
- Les deux absents : C(10,5) ÷ C(12,5) = 252 ÷ 792 ≈ 31,8%
- Au moins 1 présent : 1 − 31,8% ≈ 68,2%
- Les deux présents : C(10,3) ÷ C(12,5) = 120 ÷ 792 ≈ 15,2%
Entre les tours 3 et 4, les deux achats d'ouverture apparaîtront quasi-certainement. Cela signifie que la qualité de vos achats d'ouverture détermine votre trajectoire pour le premier quart de la partie. Une Chapelle achetée au tour 1 a 68,2% de chances d'apparaître au tour 3, vous permettant de commencer l'épuration immédiatement.
Comparaison mathématique des ouvertures
| Ouverture | Carte clé arrive au Tour 3 | Notes |
|---|---|---|
| Chapelle + n'importe quoi | 68,2% | Début d'épuration rapide |
| Argent + Argent | Les deux : 15,2% / L'un ou l'autre : 68,2% | Gain de densité stable |
| Argent + Action | Chacune à 68,2% | Dépend de la stratégie |
Les mathématiques de l'épuration
Qu'est-ce qu'une carte d'arrêt ?
En théorie de la construction de deck, une carte d'arrêt est toute carte qui ne pioche pas de cartes supplémentaires quand elle est jouée. Les cartes d'arrêt interrompent la chaîne de jeu dans les decks moteur.
Exemples de cartes d'arrêt :
- Cuivre, Argent, Or — génèrent des pièces mais ne piochent pas
- Domaine, Duché, Province, Malédiction — accordent des points mais ne piochent pas
- La plupart des Actions sans texte +Carte — produisent des effets mais ne piochent pas
Un deck chargé de cartes d'arrêt ne peut pas être intégralement pioché en un seul tour, limitant la puissance des moteurs qui reposent sur l'enchaînement de nombreuses actions.
Ce que l'épuration améliore réellement
L'épuration améliore directement trois métriques simultanément :
- Taille du deck ↓ — vous piochez une plus grande proportion de votre deck à chaque tour
- Densité monétaire ↑ — retirer les Cuivres et Domaines de faible valeur augmente la valeur moyenne de la main
- Vitesse de recyclage ↑ — vos meilleures cartes reviennent en main plus fréquemment
Épuration par la Chapelle : chiffres concrets
La Chapelle peut épurer jusqu'à 4 cartes par tour. Considérons le scénario où vous épurez les 3 Domaines et 4 Cuivres en plusieurs tours :
| État | Taille du deck | Total pièces | Densité | Pièces attendues (5 cartes) |
|---|---|---|---|---|
| Deck de départ | 10 | 7 | 0,70 | 3,50 |
| Après ajout de la Chapelle | 11 | 7 | 0,64 | 3,18 |
| Après épuration des 3 Domaines | 8 | 7 | 0,88 | 4,38 |
| Après épuration des 4 Cuivres | 4 | 3 | 0,75 | 3,75 |
Le deck de 4 cartes semble faible isolément, mais l'ajout de cartes de qualité fait monter la densité rapidement :
| Argents ajoutés | Taille du deck | Total pièces | Densité | Pièces attendues (5 cartes) |
|---|---|---|---|---|
| +1 Argent | 5 | 5 | 1,00 | 5,00 |
| +2 Argents | 6 | 7 | 1,17 | 5,83 |
| +2 Argents, +1 Or | 7 | 10 | 1,43 | 7,14 |
Un deck épuré avec seulement 2 Argents et 1 Or produit déjà 7,1 pièces attendues par tour — suffisant pour acheter une Province presque à chaque fois que cela compte. C'est la puissance mathématique de la Chapelle.
Chapelle + Argent contre Chapelle + Cantrip
Selon les recherches en simulation de dominionstrategy.com :
- Ouverture Chapelle + Argent : moyenne de 3,03 cartes épurées
- Ouverture Chapelle + Cantrip (Village, Marché, etc.) : moyenne de 3,64 cartes épurées
Les cantrips donnent plus d'occasions à la Chapelle de se déclencher en la faisant apparaître dans davantage de mains. La différence de 0,61 carte représente environ 0,61 Cuivre supplémentaire retiré — une amélioration significative de la densité à long terme.
Vitesse de recyclage du deck
Les decks plus minces livrent les bonnes cartes plus souvent
Comparons un deck de 20 cartes et un deck de 10 cartes, chacun contenant exactement 1 Or :
| Taille du deck | Proportion d'Or | Probabilité que l'Or apparaisse dans une main de 5 | Tours moyens entre apparitions de l'Or |
|---|---|---|---|
| 20 cartes | 1/20 = 5% | 1−(19/20)^5 ≈ 22,6% | ~4,4 tours |
| 10 cartes | 1/10 = 10% | 1−(9/10)^5 ≈ 41,0% | ~2,4 tours |
| 5 cartes | 1/5 = 20% | 1−(4/5)^5 ≈ 67,2% | ~1,5 tour |
Un deck de 10 cartes voit son Or environ 1,8× plus souvent qu'un deck de 20 cartes. L'épuration vous profite non seulement par une densité plus élevée, mais aussi par une fréquence accrue de vos cartes puissantes.
Le double préjudice des Malédictions
Quand la Sorcière adverse ajoute des Malédictions à votre deck, la mathématique inverse s'applique :
- Deck de 10 cartes + 1 Malédiction → 11 cartes : le taux d'apparition de l'Or passe de 10% à 9,1%
- Deck de 10 cartes + 3 Malédictions → 13 cartes : le taux d'apparition de l'Or passe de 10% à 7,7%
Les Malédictions réduisent simultanément la densité monétaire et ralentissent le recyclage du deck, diminuant la fréquence d'apparition de vos meilleures cartes. Ce double préjudice explique pourquoi les attaques agressives aux Malédictions (Sorcière) comptent parmi les stratégies les plus puissantes du jeu.
Application pratique
Acheter l'Action ou un Argent ?
Quand vous hésitez à acheter une carte Action, utilisez la densité comme guide.
Étape 1 : Estimer la densité actuelle de votre deck
Comptez les Cuivres, Argents et Ors en main et dans la défausse lors du nettoyage. Estimez votre production totale de pièces et divisez par la taille du deck.
Étape 2 : Projeter le changement de densité après chaque achat
- Acheter un Argent : +1 carte, +2 pièces → la densité augmente
- Acheter une Action de coût 5 : +1 carte, +0 pièce → la densité diminue
Exemple avec un deck de 16 cartes à densité 1,00 (total pièces = 16) :
| Achat | Taille du deck | Total pièces | Densité | Variation |
|---|---|---|---|---|
| Argent | 17 | 18 | 1,06 | +0,06 |
| Action (sans pièces) | 17 | 16 | 0,94 | −0,06 |
Une carte Action ne surpasse l'Argent que lorsqu'elle produit effectivement l'équivalent de 2+ pièces. Le Laboratoire (+2 Cartes, +1 Action) pioche davantage de cartes, vous permettant de jouer plus de Trésors — sa contribution monétaire effective dépasse donc sa valeur nominale.
Gestion du deck en milieu et fin de partie
Suivre la taille de votre deck tout au long de la partie
Au début de chaque tour, jetez un coup d'œil à la taille de la défausse. La taille de votre deck actif = taille totale du deck − taille de la défausse − taille de la main.
Recalculer la densité après chaque achat de Province
La Province coûte 8 et produit 0 pièce. Chaque copie achetée réduit votre densité :
| État du deck | Densité avant | Densité après 1 Province | Variation |
|---|---|---|---|
| 20 cartes, 28 pièces | 1,40 | 1,33 (21 cartes) | −0,07 |
| 20 cartes, 32 pièces | 1,60 | 1,52 (21 cartes) | −0,08 |
Commencer les achats de Province quand votre densité dépasse 1,6 garantit de maintenir une densité supérieure à 1,4 pour plusieurs achats supplémentaires — suffisant pour continuer à atteindre 8 pièces.
Fins de partie à 3 piles et densité
Déclencher une fin de partie à 3 piles (acheter agressivement des cartes bon marché pour vider les piles) est le plus efficace quand votre densité est suffisamment élevée pour acheter plusieurs cartes en un tour. Un deck à densité 1,8+ peut parfois acheter 2 à 3 cartes par tour avec des effets +Achat, précipitant la fin de partie.
Synthèse
Les mathématiques ne sont pas aussi difficiles qu'elles en ont l'air. Pendant la partie, concentrez-vous sur trois points seulement :
- Suivre approximativement la taille de votre deck et la production totale de pièces — estimer la densité à la volée
- Viser une densité ≥ 1,6 avant de s'engager dans les achats de Province — en dessous de ce seuil, continuer à acheter des Trésors
- Confirmer que l'épuration a aminci votre deck — les decks plus minces recyclent plus vite et livrent les cartes puissantes plus tôt
Cela prend du temps au début, mais après des dizaines de parties vous sentirez instinctivement que « ce deck a besoin de deux Argents supplémentaires avant que la Province soit fiable ». L'intuition mathématique des joueurs expérimentés n'est pas de la magie — c'est le résultat accumulé de ces calculs précis, intériorisés par la répétition.